多元函数�微性的判断方法有哪些？

多元函数å�¯å¾®æ€§çš„åˆ¤æ–­æ ¸å¿ƒæ˜¯ “先看必è¦�æ�¡ä»¶ï¼Œå†�用充分æ�¡ä»¶ï¼Œå¿…è¦�时回归定义验è¯�”，主è¦�有 3 类关键方法，其中二元函数的判断逻辑å�¯ç›´æŽ¥æŽ¨å¹¿åˆ°æ›´å¤šå…ƒå‡½æ•°ã€‚

一ã€�方法 1：利用 “å�¯å¾®çš„å¿…è¦�æ�¡ä»¶” 快速排除ä¸�å�¯å¾®æƒ…况

å�¯å¾®çš„å¿…è¦�æ�¡ä»¶æ˜¯ “å��导数存在”ï¼Œè¿™æ˜¯åˆ¤æ–­çš„ç¬¬ä¸€æ­¥ï¼Œèƒ½å¸®ä½ å¿«é€Ÿç­›æŽ‰æ˜Žæ˜¾ä¸�å�¯å¾®çš„函数。

æ ¸å¿ƒé€»è¾‘ï¼šè‹¥å¤šå…ƒå‡½æ•°åœ¨æŸ�点å��导数至少有一个ä¸�存在，则函数在该点一定ä¸�å�¯å¾®ã€‚

�作步骤：

å…ˆè®¡ç®—å‡½æ•°åœ¨ç›®æ ‡ç‚¹ï¼ˆå¦‚(x0​,y0​)）的两个一阶å��导数∂x∂f​​(x0​,y0​)​和∂y∂f​​(x0​,y0​)​；

若其中一个å��导数ä¸�存在（比如用定义计算时左å�³æž�é™�ä¸�等，或æž�é™�ä¸�存在），直接判定 “ä¸�å�¯å¾®”ï¼›

若两个�导数都存在，进入下一步判断（必��件满足�代表�微，需进一步验�）。

示例：判断f(x,y)=∣x∣+y在(0,0)处的å�¯å¾®æ€§è®¡ç®—å��导数：∂x∂f​​(0,0)​=Δx→0lim​Δx∣Δx∣+0−0​，该æž�é™�ä¸�存在（左æž�é™�−1，å�³æž�é™�1ï¼‰ï¼Œå› æ­¤f(x,y)在(0,0)处ä¸�å�¯å¾®ã€‚

二ã€�方法 2：利用 “å�¯å¾®çš„充分æ�¡ä»¶” 直接判定å�¯å¾®ï¼ˆæœ€å¸¸ç”¨ï¼‰

å�¯å¾®çš„充分æ�¡ä»¶æ˜¯ “å��导数存在且连续”，这是考试中最常用的判定ä¾�æ�®ï¼Œæ— 需回归å¤�æ�‚的定义验è¯�。

æ ¸å¿ƒé€»è¾‘ï¼šè‹¥å¤šå…ƒå‡½æ•°åœ¨æŸ�点的邻域内（注æ„�ä¸�是仅在该点）两个一阶å��导数都存在，且这两个å��导数在该点连续，则函数在该点一定å�¯å¾®ã€‚

�作步骤：

å…ˆç¡®è®¤å‡½æ•°åœ¨ç›®æ ‡ç‚¹çš„é‚»åŸŸå†…å��导数∂x∂f​和∂y∂f​å�‡å­˜åœ¨ï¼ˆå�¯é€šè¿‡æ±‚导公å¼�计算）；

å†�判断这两个å��å¯¼æ•°åœ¨ç›®æ ‡ç‚¹æ˜¯å�¦è¿žç»­ï¼ˆå�³è®¡ç®—(x,y)→(x0​,y0​)lim​∂x∂f​是å�¦ç­‰äºŽ∂x∂f​​(x0​,y0​)​，å�Œç�†éªŒè¯�∂y∂f​）；

è‹¥å��导数存在且连续，直接判定 “å�¯å¾®”。

示例：判断f(x,y)=x2+3xy+y2在(1,2)处的�微性

计算å��导数：∂x∂f​=2x+3y，∂y∂f​=3x+2y，显然在(1,2)的邻域内å�‡å­˜åœ¨ï¼›

验è¯�å��导数连续：∂x∂f​和∂y∂f​都是多项å¼�（多项å¼�å¤„å¤„è¿žç»­ï¼‰ï¼Œå› æ­¤åœ¨(1,2)处连续；

结论：f(x,y)在(1,2)处�微。

三ã€�方法 3：回归 “å�¯å¾®çš„定义” 验è¯�（必è¦�时使用）

当å��导数存在但ä¸�è¿žç»­æ—¶ï¼Œæ— æ³•ç”¨å……åˆ†æ�¡ä»¶åˆ¤å®šï¼Œå¿…须回归定义验è¯� —— 这是判断å�¯å¾®æ€§çš„ “终æž�方法”，但计算ç¨�å¤�æ�‚。

æ ¸å¿ƒé€»è¾‘ï¼ˆä»¥äºŒå…ƒå‡½æ•°ä¸ºä¾‹ï¼‰ï¼šå‡½æ•°z=f(x,y)在(x0​,y0​)处å�¯å¾®çš„定义是：全增é‡�Δz=f(x0​+Δx,y0​+Δy)−f(x0​,y0​)，能表示为Δz=AΔx+BΔy+o(ρ)，其中A=∂x∂f​​(x0​,y0​)​，B=∂y∂f​​(x0​,y0​)​，ρ=(Δx)2+(Δy)2​，且ρ→0lim​ρo(ρ)​=0ã€‚å› æ­¤ï¼Œå�ªéœ€éªŒè¯�æž�é™�ρ→0lim​ρΔz−(AΔx+BΔy)​是å�¦ç­‰äºŽ0：若等于0，则å�¯å¾®ï¼›å�¦åˆ™ä¸�å�¯å¾®ã€‚

�作步骤：

先计算A=∂x∂f​​(x0​,y0​)​和B=∂y∂f​​(x0​,y0​)​（å��导数已存在）；

写出全增é‡�Δz，并计算Δz−(AΔx+BΔy)ï¼›

计算æž�é™�(Δx,Δy)→(0,0)lim​(Δx)2+(Δy)2​Δz−(AΔx+BΔy)​；

è‹¥æž�é™�为0，判定 “å�¯å¾®”ï¼›å�¦åˆ™ “ä¸�å�¯å¾®”。

示例：判断f(x,y)={x2+y2​xy​,0,​(x,y)î€ =(0,0)(x,y)=(0,0)​在(0,0)处的å�¯å¾®æ€§

计算å��导数：A=∂x∂f​​(0,0)​=Δx→0lim​Δx0−0​=0，å�Œç�†B=0ï¼›

计算Δz−(AΔx+BΔy)=(Δx)2+(Δy)2​Δx⋅Δy​；

求æž�é™�：令Δy=kΔx（沿直线趋近），则æž�é™�å�˜ä¸ºΔx→0lim​1+k2​⋅∣Δx∣k(Δx)2​=0，与kæ— å…³ï¼Œæ•…æž�é™�为0ï¼›

结论：f(x,y)在(0,0)处�微（虽�导数在(0,0)处�连续，但满足定义）。

总结：多元函数å�¯å¾®æ€§åˆ¤æ–­çš„ “三步æµ�程”

�到�微性判断题，按以下顺��作，效率最高：

第一步：查å��导数是å�¦å­˜åœ¨—— 若至少一个ä¸�存在，直接判 “ä¸�å�¯å¾®”ï¼›

第二步：查å��导数是å�¦è¿žç»­—— 若存在且连续，直接判 “å�¯å¾®”ï¼›

第三步：回归定义验è¯�—— è‹¥å��导数存在但ä¸�è¿žç»­ï¼Œè®¡ç®—æ ¸å¿ƒæž�é™�，若æž�é™�为0则 “å�¯å¾®”，å�¦åˆ™ “ä¸�å�¯å¾®”。

更多详情，å�¯ä»¥æŒ�ç»­å…³æ³¨æ–°ä¸œæ–¹è€ƒç ”ç½‘ï¼Œä¸ºä½ æ��ä¾›ç”˜è‚ƒåŽ†å¹´è€ƒç ”èµ„è®¯ä¿¡æ�¯ï¼Œå¸®åŠ©å¤§å®¶äº†è§£æ›´å¤šè€ƒç ”相关信æ�¯ã€‚