如果电子在区域I，III中，
而如果电子在区域II中，
其中ħ叫约化Plank常数，ħ=h/2π，m为电子的质量，E是电子的能量，ψ(x)是电子的波函数，描述了电子的波动性质，而|ψ(x)|2则代表了在x处找到电子的几率。在区域I及区域III的方程中，V是电子的势能，因为V为无限大，导致电子无法在这两个区域运动，因为I，III区域的ψ(x)=0。在区域II中，解Schrödinger方程，从微分方程表中可以查到这类方程的通解，为
因为电子无法在区域I运动，因为在x=0出，找到电子的几率也为0，所以ψ(0)=0。由此可知，B=0。同样的，ψ(l)=0，就可以得到
因为Schrödinger方程的解释一个sin函数，n就被自然的引入进来了。我们可以得到能量E为：
以上就是解一维势阱单电子Schrödinger方程的全过程。通过求解Schrödinger方程，我们自然的引入了电子层数n的概念，并得到了电子所能具备的能量。
从这个结果我们可以看到：
n越大，电子的能量也就越高。在量子力学中，也管n叫做“主量子数”因为n的大小和电子的能量直接相关。
因为n只能是自然数，所以电子的能量是量子化的。当然，这个量子化是有条件的，那就是势阱的宽度a必须非常小。当a非常大时，能量的间隔就变得非常小，从而变得连续。这也是为什么只有微观体系的例子能量才会量子化，不连续分布。
我们之前说过，|ψ(x)|2代表了在x处找到电子的几率。因为电子肯定在区域II里运动，所以通过积分区域II里|ψ(x)|2，我们得到1。
可以得到：
最后，我们可以做出|ψ(x)|2的图像，其代表了在各处找到电子的几率，如下所示：
当然，本篇文章所说的一维势阱还是非常简单的模型，它只能给出主量子数也就是电子层数n，而无法给出其他与轨道有关的量子数。更多的量子数的得出，有赖于求解更复杂的Schrödinger方程。
好了，今天的内容就分享到这里，希望本篇内容能让你更加了解主量子数的产生和意义，我们下期再见~
参考文献：【百度百科】：一维无限深势阱
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